Tia phân giác là một trong những nội dung mà chúng ta sẽ được làm quen trong bộ môn toán học. Nếu bạn đang quan tâm về tia phân giác là gì, tính chất, cách vẽ cũng như bài tập ứng dụng như thế nào thì hãy đừng bỏ qua nội dung trong bài viết sau!
Tia phân giác là gì? Tính chất tia phân giác
Tia phân giác của một góc là tia nằm giữa 2 cạnh của góc và tạo với hai cạnh ấy 2 góc bằng nhau.
Tia phân giác có 2 tính chất sau đây:
- Tia phân giác trong và tia phân giác ngoài của một góc luôn được vuông góc với nhau
- Tập hợp các điểm cùng nằm bên trong 1 góc, cách đều 2 cạnh của góc thì là tia phân giác của góc đó.
Dấu hiệu để biết tia phân giác của một góc
Để nhận biết được tia phân giác của một góc ta cần dựa vào những dấu hiệu sau đây:
- Một tia bất kỳ chia một góc thành 2 góc bằng nhau có số đo bằng một nửa góc đã cho được gọi là tia phân giác của góc đó.
- Tia nằm trong một góc với các điểm trên đó cách đều 2 tia tạo thành góc thì cũng đươc gọi là tia phân giác của một góc.
Cách vẽ tia phân giác
Cách vẽ dựa vào tính chất tia phân giác của một góc
Để vẽ được tia phân giác của một góc ta có thể thực hiện theo 2 cách như sau:
- Dùng thước đo độ: Bạn đặt điểm 0 trên thước đo độ trùng với đỉnh của góc. Lấy số đo góc chia đôi và đánh dấu lại tại điểm chia đôi này. Dùng thước nối từ đỉnh của góc đến điểm đã đánh dấu sẽ thu được tia phân giác.
- Dùng phương pháp gấp giấy: Dùng giấy có khuôn hình vuông hoặc hình chữ nhật. Vẽ góc bất kỳ trong đó có một tia là cạnh của tờ giấy, sau đó gấp giấy sao cho 2 tia của góc trùng với nhau. Nếp gấp tạo thành là tia phân giác của góc đã vẽ.
Xem thêm: Đường trung trực là gì? Tính chất, cách vẽ đường trung trực
Hướng dẫn vẽ tia phân giác với Compa
Để vẽ đường tia phân giác của một góc, ta cần dùng thước kẻ và compa. Để thực hiện vẽ được tia phân giác chính xác nhất, bạn cần phải cố định compa sao cho các hình tròn vẽ lên sẽ có chung bán kính.
- Bước 1: Thực hiện kẻ 2 đường thẳng sao cho 2 đường thẳng này cắt nhau tại một điểm.
- Bước 2: Xem điểm giao ở giữa 2 đường thẳng vừa kẻ là tâm của hình tròn, sau đó dùng compa để xoay 180 độ.
- Bước 3: Lúc này đường tròn sẽ cắt đường thẳng tại 1 điểm, lấy giao điểm này là tâm của hình tròn mới để tiếp tục vẽ với compa như bước 2.
- Bước 4: Để tạo nên được tia phân giác trong của góc, bạn cần dùng thước kẻ để nối các điểm cắt nhau của 2 đường tròn lại với nhau.
Bài tập tia phân giác
Dạng 1: Cách chứng minh tia phân giác của góc cho trước
Phương pháp: Để chứng minh tia Oy là tia phân giác của góc xOz ta làm như sau:
- Cách 1: Chứng minh tia Oy nằm giữa 2 tia Ox và Oz hoặc góc xOy = góc yOz
- Cách 2: Chứng minh được góc xOy = góc yOz = 1/2 góc xOz
- Cách 3: Áp dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác cân đồng thời là đường phân giác.
Bài tập vận dụng: Có tam giác ABC vuông tại A. Tại điểm K bất kì trên cạnh BC, kẻ KH vuông góc AC (H thuộc AC). Trên tia đối HK ta lấy điểm I sao cho HI = HK. Hãy chứng minh:
- AB // HK
- Góc KAH = góc IAH
- Tam giác AKI cân.
Hướng dẫn giải:
a. Ta có: AB vuông góc AC vì tam giác ABC vuông tại A và KH vuông góc AC (giả thiết).
=> AB // KH (từ vuông góc đến song song)
b. Xét tam giác AHK và AHI, ta có:
- HK = HI (giả thiết)
- Góc AHK = góc AHI = 90 (giả thiết)
- AH chung
Suy ra góc KAH = góc IAH (theo tính chất hai góc tương ứng)
c. Ta có: tam giác AHK = AHI => AK = AI (theo tính chất hai cạnh tương ứng)
Vậy ta có tam giác AKI cân tại A.
Xem thêm: Đường trung tuyến là gì? Công thức, tính chất đường trung tuyến của tam giác
Dạng 2. Tính số đo góc
Dạng bài này cũng rất thường gặp trong các bài bài tra, để giải quyết kiểu bài này bạn hãy dựa vào lý thuyết: “Số đo của góc tạo bởi tia phân giác sẽ có tác dụng giúp chia góc đó thành 2 góc với số đo bằng nhau”.
Bài tập vận dụng 1: Cho 2 góc xOy và yOz là hai góc kề bù, biết rằng góc xOy = 120
- Tính góc yOz
- Gọi Om là tia phân giác của góc xOy, hãy tính góc zOm
Hướng dẫn giải:
- Vì góc xOy và yOz là hai góc kề bù nên xOy + góc yOz = 180 hay góc yOz = 180 – góc xOy = 60
- Tia Om là tia phân giác của góc xOy => góc xOm = mOy = góc xOy / 2 = 120/2 = 60
Vì góc xOm và zOm kề bù => góc xOm + góc zOm = 180
=> góc zOm = 120
Bài tập vận dụng 2: Cho hai góc kề nhau góc AOB và BOC sao cho AOB = 50, BOC = 80. Gọi OD là tia đối của tia OC.
- Tính số đo góc AOC
- Chứng minh tia OA nằm giữa hai tia OB và OD
- OA có phải là tia phân giác của BOD hay không? Tại sao?
Hướng dẫn giải:
- Ta có: góc AOC = góc AOB + góc BOC = 50 + 80 = 130
- Ta có: góc AOC < COD (130<180) và góc COB < góc AOC (80 < 130) => tia OA nằm giữa tia OB và OD
- Tia OA nằm giữa tia OC và OD nên góc COD = góc COA + góc AOD => góc AOD = 50
Vậy góc AOD = góc AOB = 50 kết hợp với câu b, OA nằm giữa hai tia OB và OD => OA là tia phân giác của góc BOD.
Xem thêm: Bán kính, đường kính ký hiệu là gì? Cách tính bán kính, đường kính hình tròn
Dạng 3. Dùng tính chất của góc để chứng minh đoạn thẳng bằng nhau
Đây là dạng bài khó nhất trong tia phân giác, vì thế bạn cần đặc biệt chú ý để có thể giải được. Với dạng bài này ta cần áp dụng phương pháp giải như sau:
Áp dụng định lý thuận: Điểm nằm trên tia phân giác của một góc sẽ được cách đều 2 cạnh của góc đó.
Bài tập vận dụng: Cho tam giác ABC với góc A = 120° có tia phân giác của góc A cắt BC tại điểm D. Còn tia phân giác của góc ADC cắt AC tại điểm I. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của I ở trên đường thẳng AB và BC.
Yêu cầu hãy chứng minh: IH = IK
Hướng dẫn giải:
Kẻ đường IE vuông góc Ad (E thuộc AD). Gọi Ax là tia đối của tia AB.
Vì góc BAC và góc CAx là hai góc kề bù, vì thế góc BAC = 120 nên góc CAx = 60 (1)
Ta có: AD là tia phân giác của BAC => góc DAC = 1/2 góc BAC = 60 (2)
Từ (1) và (2) suy ra AC là tia phân giác của góc DAx
=> Áp dụng tính chất phân giác của một góc ta có: IH = IE (3)
Vì DI là phân giác của góc ADC nên IK = IE (dựa theo tính chất phân giác của một góc) (4)
Từ (3) và (4) suy ra: IH = IK.
Nội dung mà chúng tôi mang đến trên đây đã giúp bạn đọc hiểu được tia phân giác là gì, cũng như tính chất và cách làm các dạng bài tập liên quan. Từ đó giúp bạn hiểu và làm tốt các bài tập liên quan đến dạng toán về tia phân giác.
