Đường trung tuyến lớp 7 thuộc phần kiến thức hình học cơ bản mà các bạn học sinh phải nắm vững để vận dụng vào giải các bài toán và chuẩn bị cho phần kiến thức nâng cao về công thức đường trung tuyến lớp 10, định lý đường trung tuyến trong tam giác. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ giúp các bạn tổng kết toàn bộ kiến thức đường trung tuyến là gì, tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông, cân. Cùng với đó là các bài tập ví dụ minh họa về khái niệm đường trung tuyến.
Đường trung tuyến là gì?
Đường trung tuyến của đoạn thẳng là gì?
Đường trung tuyến của đoạn thẳng là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng đó
Đường trung tuyến của tam giác là gì?
Đường trung tuyến của tam giác là đoạn thẳng có một đầu là đỉnh của tam giác, đầu kia là trung điểm cạnh đối diện với đỉnh đó.
Mỗi tam giác bất kỳ sẽ có 3 đường trung tuyến.
Tam giác ABC có D là trung điểm của cạnh BC thì AD là một đường trung tuyến của tam giác ABC. Như vậy, nếu F, D, E lần lượt là trung điểm của ba cạnh AB, BC, AC. Thì BF, AD, CE là ba đường trung tuyến của tam giác ABC.
Công thức, tính chất đường trung tuyến trong tam giác
Tính chất đường trung tuyến trong tam giác thường
| Ba đường trung tuyến trong tam giác đồng quy tại một điểm, điểm đó được gọi là trọng tâm của tam giác.
Trọng tâm của tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy. Khoảng cách từ trọng tâm đến trung điểm của mỗi cạnh bằng 1/3 đường trung tuyến tương ứng với điểm đó. |
Tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông
ΔABC vuông có đoạn thẳng AD là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC
=> AD=12BC=DB=DC
Ngược lại, nếu trung tuyến AM=12BC thì ΔABC vuông tại A
| Trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng 1/2 cạnh huyền.
Một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa độ dài cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông. Đường trung tuyến của tam giác vuông có tất cả các tính chất của một đường trung tuyến tam giác. |
Tính chất đường trung tuyến trong tam giác cân
ΔABC cân tại A có đường trung tuyến AD ứng với cạnh BC=> AD⊥BC và ΔADB=ΔADC
| Đường trung tuyến ứng với cạnh đáy thì vuông góc với cạnh đáy và chia tam giác này thành 2 tam giác bằng nhau. |
Tính chất đường trung tuyến trong tam giác đều
ΔABC đều => ΔGAE=ΔGAF=ΔGCF=ΔGCD=ΔGBD=ΔGBE=ΔGEB=ΔGEA
| 3 đường trung tuyến của tam giác đều sẽ chia tách tam giác đó thành 6 tam giác có diện tích bằng nhau.
Trong tam giác đều, đường thẳng đi qua một đỉnh bất kỳ và qua trọng tâm của tam giác sẽ chia tách tam giác đó thành 2 tam giác có diện tích bằng nhau. |
Công thức tính độ dài đường trung tuyến trong tam giác
Độ dài đường trung tuyến của một tam giác được tính bởi độ dài các cạnh của tam giác và được tính bằng định lý Apollonnius:
Với ma là đường trung tuyến ứng với cạnh a trong tam giác
mb là đường trung tuyến ứng với cạnh b trong tam giác
mc là đường trung tuyến ứng với cạnh c trong tam giác
Trong đó:
- a, b, c: là các cạnh của tam giác.
- ma, mb, mc: là các đường trung tuyến của tam giác.
Các dạng toán về đường trung tuyến của tam giác
Dạng 1: Tìm tỉ lệ giữa các cạnh và tính độ dài đoạn thẳng
Phương pháp
| Chú ý đến vị trí trọng tâm trong tam giác
Với G là trọng tâm của ΔABC và AB, BE, CF là 3 đường trung tuyến, ta có AG=2/3AD; BG=2/3BE; CG=2/3CF |
Dạng 2: Đường trung tuyến của tam giác đặc biệt ( tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều)
Phương pháp
| Trong tam giác cân (hoặc tam giác đều), đường trung tuyến ứng với cạnh đáy và chia tách tam giác thành hai tam giác bằng nhau. |
Bài tập vận dụng đường trung tuyến trong tam giác
Bài 1: Cho tam giác ABC cân ở A có AB = AC = 17cm, BC= 16cm. Kẻ trung tuyến AM.
a) Chứng minh: AM ⊥ BC;
b) Tính độ dài AM.
Bài giải
a, Ta có AM là đường trung tuyến của ΔABC nên MC = MB
Mặt khác ΔABC cân tại A
=> AM vừa là đường trung tuyến và đường cao
Vậy AM vuông góc với BC
b, Ta có
BC = 16cm nên BM = MC = 8cm
AB = AC = 17cm
Xét tam giác AMC vuông tại M
Áp dụng Định lý Pitago có:
AC² = AM² + MC² => 17² = AM² + 8² => AM² = 17² – 8² = 225 => AM = 15 cm
Bài 2: Cho G là trọng tâm của tam giác đều ABC. Chứng minh rằng GA = GB = GC.
Gọi BF, AD, CE là các đường trung tuyến tam giác ABC hay F, D, E lần lượt là trung điểm cạnh AC, BC, AB
Bài giải
Gọi AD, BE, CF là các đường trung tuyến của ΔABC hay D,E,F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AB, AC
Ta có AD là đường trung tuyến tam giác ABC nên AG= 2/3 AD(1)
CE là đường trung tuyến tam giác ABC nên CG= 2/3 CE(2)
BF là đường trung tuyến tam giác ABC nên BG= 2/3 BF(3)
Ta có ΔBAC đều =>AD = BF = CE (4)
Từ 1, 2, 3, 4 suy ra AG = CG = BG
Bài 3: Cho tam giác ABC. D thuộc tia đối của tia AB sao cho AB = AD.
Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho độ dài AE = 1/3 AC. Tia BE cắt CD ở M. Chứng minh :
a) M là trung điểm của CD
b) AM = 1/2 BC
Bài giải
a, Xét tam giác BDC có AB = AD => AC là đường trung tuyến của tam giác BDC
Mặt khác
AE = 1/3 AC => CE = 2/3 AC.
Suy ra E chính là trọng tâm tam giác BDC
M là giao của BE và CD
Vậy BM là đường trung tuyến tam giác BDC
Vậy M là trung điểm của cạnh CD
b, A là trung điểm của BD
M là trung điểm của DC
Suy ra AM là đường trung bình của tam giác BDC
Suy ra AM = 1/2 BC
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại đỉnh A, có AB = 18cm, AC = 24cm, trọng tâm điểm G. Tính tổng khoảng cách từ điểm G tới mỗi đỉnh của tam giác ABC.
Bài giải
Gọi CE, AD, BF lần lượt là các đường trung tuyến nối từ đỉnh C, A, B của tam giác ABC
Dễ dàng suy ra AF = FC = 12cm, AE = EB = 9cm
Ta có tam giác ABC vuông tại đỉnh A, áp dụng định lý Pitago, ta có
BC²= AB²+ AC²=> BC²= 18²+ 24²= 900=> BC²= 30
Ta có ΔABC vuông tại A mà D là trung điểm cạnh huyền BC nên AD = BD = DC = 15cm
Suy ra AG = 2/3 AD = 10cm
Xét Δ AEC vuông tại A, áp dụng định lý Pitago ta có:
EC² = AE² + AC² => EC² = 9² + 24² = 657 => EC = 3√73cm => CG = 2/3 EC = 2√73 cm
Tương tự, xét ΔAFB vuông tại đỉnh A, áp dụng định lý Pitago, ta có:
BF²= AB²+ AF²=> BF²= 18²+ 12²= 468=> BF= 6√13 cm =>BG = 2/3 BF= 4√13 cm
Tổng khoảng cách từ trọng tâm G tới các đỉnh của tam giác ABC là:
AG+BG+CG= 10+ 4√13+ 2√73 cm
Bài 5: Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A, hai đường trung tuyến BD và CE giao nhau tại G. Kéo dài AG cắt BC tại H.
a, So sánh ΔAHB và Δ AHC
b, Gọi K và I lần lượt là trung điểm của GC và GA. Chứng minh rằng 3 đoạn thẳng AK, BD, CI đồng quy
Bài giải
a, Ta có BD là đường trung tuyến của ΔABC
CE là đường trung tuyến của ΔABC
Vậy G là trọng tâm ΔABC
Mà AH đi qua điểm G nên AH là đường trung tuyến của ΔABC
=>HB = HC
Xét ΔAHB và tam giác AHC có:
AB = AC (ΔABC cân tại A)
AH chung
HB = HC
=> ΔAHB = ΔAHC (c-c-c)
b, Ta có IG = IA nên CI là đường trung tuyến của ΔAGC (1)
Lại có KC = KG nên AK là đường trung tuyến củaΔ AGC (2)
DG là đường trung tuyến của ΔACG (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra 3 đường trung tuyến CI, DG, AK đồng quy tại I
Hy vọng với những kiến thức mà chúng tôi vừa tổng hợp, các học sinh và quý phụ huynh đã hiểu được đường trung tuyến là gì? Tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông, cân, thường có gì đặc biệt và áp dụng vào giải nhanh các bài tập liên quan nhé!
