Nếu bạn đang quan tâm quỹ tích là gì thì nội dung bài viết sau đây sẽ là những thông tin cực hữu ích giúp bạn hiểu rõ hơn về dạng toán này. Cụ thể khái niệm và cách tìm quỹ tích giao điểm của 2 đường thẳng như thế nào sẽ được chia sẻ ngay sau đây!
Quỹ tích là gì?
Một hình H được gọi là quỹ tích của điểm M có một tính chất α (hay tập hợp những điểm M có tính chất α) khi nó chứa những điểm có tính chất α.
Những điều cần chuẩn bị khi giải bài toán quỹ tích
Tìm hiểu kỹ về bài toán
Để giải được bài toán quỹ tích thì trước hết bạn cần phải tìm hiểu thật kỹ bài toán để nhằm nắm vững các yếu tố đặc trưng của bài toán. Thông thường 1 bài toán quỹ tích sẽ có 3 yếu tố sau đây:
- Yếu tố cố định: Là các điểm, đoạn thẳng, đường thẳng,…
- Yếu tố không đổi: Là độ dài đoạn thẳng, độ lớn góc,…
- Yếu tố thay đổi: Là các điểm cần tìm quỹ tích, hoặc đoạn thẳng, các hình mà trên đó có chứa các điểm cần phải tìm quỹ tích.
Ví dụ bài toán về tìm quỹ tích
Để giúp bạn đọc hiểu rõ hơn về các yếu tố trên chúng ta xét những ví dụ dưới đây:
Ví dụ 1: Cho góc vuông (widehat{xOy}) cố định với đoạn thẳng AB có độ dài cho trước. Đỉnh A di chuyển trên cạnh Ox, còn đỉnh B di chuyển trên cạnh Oy. Yêu cầu bạn hãy tìm tập hợp trung điểm M của đoạn thẳng AB.
Hướng dẫn:
Với dạng bài này trước hết chúng ta cần phải xác định được 3 yếu tố:
- Yếu tố cố định: đỉnh O của góc vuông (widehat{xOy})
- Yếu tố không đổi: độ dài của đoạn thẳng AB
- Yếu tố thay đổi gồm: điểm A, điểm B, kéo theo trung điểm M của đoạn thẳng AB cũng bị thay đổi.
Ví dụ 2: Ta có đường thẳng (b) và điểm A cố định và không thuộc đường thẳng b. Tam giác ABC với đỉnh B di chuyển trên đường thẳng (b) và luôn luôn đồng dạng với chính nó. Yêu cầu tìm tập hợp đỉnh C.
Hướng dẫn:
Ta có:
- Yếu tố cố định: đỉnh A và đường thẳng (b)
- Yếu tố thay đổi: đỉnh B và đỉnh C
- Yếu tố không đổi: hình dạng của tam giác ABC (AB = AC).
Từ 2 ví dụ trên chúng ta cần chú ý những điều cơ bản sau:
- Trong bài toán sẽ có thể có nhiều yếu tố cố định, yếu tố không đổi và yếu tố thay đổi. Vì thế bạn chỉ cần tập trung vào những yếu tố có liên quan đến cách giải.
- Sẽ có trường hợp yếu tố đặc trưng không được cho một cách trực tiếp, vì thế bạn phải hiểu sao cho linh hoạt và sáng tạo.
- Như tại ví dụ 2, trong đề bài có yêu cầu là tam giác đồng dạng với chính nó. Vì thế chúng ta cần phải chứng minh các giả thiết để tam giác ABC luôn đồng dạng (AB = AC). Từ đó để thực hiện giải được bài toán đơn giản hơn.
Cách đoán nhận quỹ tích
Thao tác này có tác dụng giúp chúng ta hình dung được hình dạng của quỹ tích (hình tròn, đoạn thẳng, đường thẳng,…). Để đoán quỹ tích chúng ta thường tìm ba điểm của quỹ tích.
Để nhận được kết quả tốt, đơn giản, chúng ta cần thực hiện xét các điểm giới hạn của chúng với điều kiện vẽ hình sao cho thật chính xác:
- Nếu ba điểm vẽ được không thẳng hàng thì khả năng cao quỹ tích là đường tròn
- Nếu ba điểm vẽ được thẳng hàng thì có thể quỹ tích sẽ là đường thẳng.
Xem thêm: Đường trung trực là gì? Tính chất, cách vẽ đường trung trực
Cách giải bài toán quỹ tích
Chứng minh phần thuận
Các điểm có tính chất T đều thuộc hình H, việc chứng minh phần thuận nhằm để đi tìm hình dạng của quỹ tích. Với công đoạn này bạn cần kiểm tra một vài trường hợp cụ thể, dự đoán, sử dụng lập luận nhằm chứng minh quỹ tích cần tìm.
Chứng minh phần đảo
Mọi điểm thuộc hình H sẽ đều có tính chất T, việc chứng minh phần đảo nhằm mục đích xác minh lại thêm 1 lần nữa. Một số trường hợp thì việc xét phần đảo là cách để chứng minh chắc chắn nhất đối với lập luận của mình.
Sau khi đã chứng minh được 2 phần trên chúng ta có kết luận: Quỹ tích của điểm M thỏa mãn tính chất T sẽ là hình H.
Hướng dẫn tìm quỹ tích giao điểm của 2 đường thẳng
Phương pháp để tìm quỹ tích giao điểm của 2 đường thẳng như sau:
Để tìm tập hợp giao điểm I của hai đường thẳng thay đổi a; b chúng ta chọn 2 mặt phẳng cố định (α) và (β) cắt nhau lần lượt chứa a và b
Khi đó ta có I = a ∩ b, suy ra:
⇒ I ∈ d = (α) ∩ (β)
Điểm I là điểm thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (β). Để chứng minh đường thẳng d đi qua một điểm cố định chúng ta thực hiện theo những bước cơ bản như sau:
– Chọn điểm cố định J thuộc hai mặt phẳng (P) và (Q)
– Chứng minh d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q), lúc này d đi qua điểm cố định J.
Ứng dụng của quỹ tích
Quỹ tích được ứng dụng rất nhiều ở trong cuộc sống như:
– Hình học: Quỹ tích dùng để giải các dạng bài toán về hình học như tìm quỹ tích điểm cách đều 2 điểm cho trước hay tìm quỹ tích điểm nhìn 2 điểm cho trước dưới góc vuông.
– Trong đời sống với những ứng dụng phổ biến như:
- Kim đồng hồ di chuyển ở trên quỹ tích là 1 đường tròn.
- Bánh xe quay được di chuyển ở trên quỹ tích là 1 đường tròn.
- Mặt trời mọc, lặn ở trên quỹ tích là 1 đường tròn.
– Vật lý: Quỹ tích dùng để nhằm mô tả chuyển động các vật thể như quỹ tích của viên đạn được ném lên trên cao.
Với những thông tin trong bài viết trên đã giúp cho bạn đọc hiểu được quỹ tích là gì cũng như cách để giải bài toán dạng này. Từ đó để ứng dụng và giải các bài tập liên quan.
