Trực tâm tam giác là một một chủ đề quan trọng trong toán học. Nhưng bạn đã hiểu rõ trực tâm là gì, tính chất của nó như thế nào chưa? Hôm nay hãy cùng chúng tôi đi tìm hiểu rõ hơn về chủ đề này nhé!
Trực tâm là gì?
Khi ba đường cao của tam giác cùng giao nhau tại một điểm thì điểm này được gọi là trực tâm của tam giác.
Tuy nhiên để xác định được trực tâm tam giác thì bạn cũng không nhất thiết phải vẽ đủ cả 3 đường cao. Bạn chỉ cần vẽ hai đường cao là đã có thể xác định được trực tâm rồi.
- Với tam giác nhọn: Trực tâm của nó nằm ở miền trong tam giác đó.
- Với tam giác vuông: Trực tâm chính là đỉnh của góc vuông.
- Đối với tam giác tù: Với tam giác này trực tâm của nó sẽ nằm ở miền ngoài tam giác đó.
Trực tâm của tam giác có tính chất gì?
– Khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại của tiếp tam giác đó đến trung điểm của cạnh nối hai đỉnh còn lại bằng 1/2 khoảng cách từ một đỉnh tới trọng tâm.
– Trực tâm tam giác vuông sẽ là đỉnh góc vuông của chính tam giác vuông đó.
– Nếu như đó là tam giác cân thì đường phân giác cũng đồng thời là đường cao, đường trung trực và là đường trung tuyến của đỉnh tam giác cân đó.
– Trong tam giác đều, trực tâm cũng đồng thời là tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp, trọng tâm của tam giác đó.
– Định lý Carnot: Theo định lý này đường cao tam giác ứng với một đỉnh cắt đường tròn ngoại tiếp tại điểm thứ hai và đối xứng của trọng tâm qua cạnh tương ứng.
Bài tập
Bài tập 1: Trong không gian Oxyz, cho A(3;0;0), B(0;2;0), c(0;0;-3). Hãy viết phương trình mặt phẳng ABC và tìm độ trực tâm của tam giác ABC.
Lời giải:
Phương trình mặt phẳng (ABC): x3+ y2+ z-3= 1
Do H là trực tâm không gian của tam giác ABC nên OH vuông góc với mặt phẳng (ABC), còn phương trình đường thẳng d qua O vuông góc với (ABC): d: x = 2t, y = 3t, z = -2t.
H thuộc d nên H (2t; 3t; -2t)
H cũng thuộc mặt phẳng (ABC) => t = 617
Vậy trực tâm của tam giác trong oxyz là (1217; 1817; -1217)
Xem thêm: Số chính phương là gì? Tổng hợp các dấu hiệu nhận biết
Bài tập 2: Cho △ABC có các đường cao là AD, BE, CF; chúng cắt nhau tại H. Và I, J lần lượt là trung điểm của AH và BC.
a) Chứng minh: JT ⊥ EF
b) Chứng minh: IE ⊥ JE
c) Chứng minh rằng: DA là tia phân giác của góc EDF.
d) Gọi P, Q là hai điểm đối xứng của D qua AC và AB
Chứng minh: P, E, F, Q thẳng hàng.
Lời giải:
a) Ta sử dụng tính chất đường trung bình trong tam giác vuông.
FI = 12AH = EIFJ = 12BC = EJ
Vậy IJ là đường trung trực của EF
b) E1 = H1; E3 = ECJ; H1 = ECJ
nên H1= ECJ
Vậy E1= E3
IEC= E1 + E2= E3 + E2 = 90độ
c)Tứ giác BFHD và ABDE nội tiếp
d) H là giao điểm 3 phân giác của tam giác EFD
Góc PFB = BFD
Góc DFH = EFH
4 góc này cộng lại = 2.90 =180 => P, E, F thẳng hàng
Tương tự ta có F, Q, E thẳng hàng.
Hy vọng với những thông tin bên trên bạn đã hiểu rõ trực tâm là tính, tính chất của trực tâm và các bài tập kiến thức liên quan khác. Nếu còn điều gì khác cần được giải đáp bạn hãy liên hệ ngay cho chúng tôi nhé!
